ヘルダーの不等式の証明をスケッチ

ヘルダーの不等式の証明はいつも忘れるので、備忘録として証明の「スケッチ」は残しておこうという主旨である(はてなブログにおける数式の練習も兼ねて)。

1. ヘルダーの不等式とは

$1 \leq p \leq \infty$,$q$は$p$の調和共役とする.すなわち, $$ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $$

が成り立つものとする.3つ組 $(X, \mathcal{B}, \mu)$を測度空間とする.$f$,$g$は$X$上の可測関数とする. このとき,以下が成り立つ.

$$ ||f \cdot g||_{1} \leq ||f|| _ {p} ||g|| _ {q} $$

2. 記号の準備
  • $L _ 1$ノルム $$ ||f|| _ 1 = \int _ X\; |f| \; d\mu $$

  • $L _ p$ノルム $$ ||f|| _ p = \int _ X\; |f| ^ p \; d\mu $$

3. 証明のスケッチ

まず以下のヤングの不等式を認めることにする. $$ ab \leq \frac{a ^ p}{p} + \frac{b ^ q}{q} \;\;\; (a,\; b > 0) $$

この不等式を$\theta > 0$を用いて少し変形する. $$ ab = (\theta a) (\theta ^ {-1} b) \leq \frac{\theta ^ {a} a ^ {p}}{p} + \frac{\theta ^ {-q} b ^ {q}}{q} $$

ここで$a = |f|$および$b = |g|$として $$ |f||g| \leq \frac{\theta ^ {p} |f| ^ {p} }{p} + \frac{\theta ^ {-q} |g| ^ {q}}{q} $$ となるので、両辺を積分することで

$$ ||f \cdot g|| _ {1} \leq \frac{\theta ^ {p} ||f|| _ {p} ^ {p} }{p} + \frac{\theta ^ {-q} ||g|| _{q} ^ {q}}{q} $$

という不等式が成り立つ。そこで $\theta > 0$を $$ \theta ^ {p} ||f|| _ {p} ^ {p} = \theta ^ {-q} ||g|| _{q} ^ {q} $$

となるように選ぶ.すると不等式の右辺は$\theta ^ {p} ||f|| _ {p} ^ {p}$でくくり出すことができて $$ ||f \cdot g|| _ {1} \leq \left ( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \right ) \cdot \theta ^ {p} ||f|| _ {p} ^ {p} = \theta ^ {p} ||f|| _ {p} ^ {p} $$

となる.さてここで $$ \left ( \frac{||g|| _ {q}}{\theta} \right ) ^ {q} = \left ( \theta ||f|| _ {p} \right ) ^ {p} $$

なのだから,両辺の「$q$乗根」を取って

$$ \frac{||g|| _ {q}}{\theta} = \left ( \theta||f|| _ {p} \right ) ^ {\frac{p}{q}} $$

である.$q/p$は

$$ 1 + \frac{p}{q} = p \Leftrightarrow \frac{p}{q} = p -1 $$

と計算できるから,結局

$$ \begin{align} \frac{||g|| _ {q}}{\theta} &= \left ( \theta ||f|| _ {p} \right ) ^ {p -1} \\ ||g|| _ {q} &= \theta ^ {p} ||f|| _ {p} ^ {p -1} \end{align} $$ となる.よって,

$$ ||f \cdot g|| _ {1} \leq ||f|| _ {p} \cdot \theta ^ {p} ||f|| _ {p} ^ {p-1} = ||f|| _ {p} ||g|| _ {q} $$

を得て、証明が終わる.