楕円の弧長

楕円関数論 数学

最近，『楕円関数論入門』（戸田盛和，日本評論社）という本を読み始めた．
ということでここにそのノートを書いていく．
第１章は「楕円の弧長」というタイトルではじまる．

楕円の長軸の長さをa，短軸の長さをbとする．
楕円上の点P(x, y)と原点Oを結んでできる線分とy軸のなす角を\phiとおく．
\left\{\begin{array}{l}x = a\sin \phi \\ y = b\cos \phi\end{array}\right.
ただし今ここでは第一象限に限定して考える．

楕円上の線素　\displaystyle ds=\sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}}は
ds=a\sqrt{1 - \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}}\sin^{2}\phi}\:d\phi
と表され，k=\sqrt{\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}}}と置くと
\large ds=a\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}\:d\phi
を得る．
短軸上に取った点Aと点Pを結ぶ弧長をsと書けば，上記を積分することで

s = a{\Bigint}_{0}^{\phi}\: \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}\;d\phi\;\;\;\;\;(0\leq \phi\leq \pi/2)

ここでkは母数と呼ばれるパラメータ．
右辺に現れた積分を第２種不完全楕円積分といい，E(k, \phi)で表す：

E(k,\phi)={\Bigint}_{0}^{\phi} \:\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}\; d\phi

特に\phi=\pi/2のときの積分は第２種完全楕円積分と呼ばれ，E(k)と表す：

E(k)={\Bigint}_{0}^{\pi/2}\: \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}\; d\phi

楕円の全周Lは上記完全楕円積分を用いて
L=4aE(k)
と書ける．

今日はここまで．