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楕円の弧長

最近,『楕円関数論入門』(戸田盛和日本評論社)という本を読み始めた.
ということでここにそのノートを書いていく.
第1章は「楕円の弧長」というタイトルではじまる.

楕円の長軸の長さをa,短軸の長さをbとする.
楕円上の点P(x, y)と原点Oを結んでできる線分とy軸のなす角を\phiとおく.
\left\{\begin{array}{l}x = a\sin \phi \\ y = b\cos \phi\end{array}\right.
ただし今ここでは第一象限に限定して考える.

楕円上の線素 \displaystyle ds=\sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}}
ds=a\sqrt{1 - \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}}\sin^{2}\phi}\:d\phi
と表され,k=\sqrt{\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}}}と置くと
\large ds=a\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}\:d\phi
を得る.
短軸上に取った点Aと点Pを結ぶ弧長をsと書けば,上記を積分することで

s = a{\Bigint}_{0}^{\phi}\: \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}\;d\phi\;\;\;\;\;(0\leq \phi\leq \pi/2)

ここでkは母数と呼ばれるパラメータ.
右辺に現れた積分を第2種不完全楕円積分といい,E(k, \phi)で表す:

E(k,\phi)={\Bigint}_{0}^{\phi} \:\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}\; d\phi

特に\phi=\pi/2のときの積分は第2種完全楕円積分と呼ばれ,E(k)と表す:

E(k)={\Bigint}_{0}^{\pi/2}\: \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}\; d\phi

楕円の全周Lは上記完全楕円積分を用いて
L=4aE(k)
と書ける.

今日はここまで.